Cho \(f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(\sqrt{3x^2+1}\right)\). giải pt f(x)' \(^2\) =0?
cho hàm số \(f\left(x\right)=x^3-3x^2+2\)
a, giải bất phương trình \(f'\left(x\right)\le0\)
b, giải phương trình \(f'=\left(x^2-3x+2\right)=0\)
c, đặt \(g\left(x\right)=f\left(1-2x\right)+x^2-x+2022\) giải bất phương trình\(g'\left(x\right)\ge0\)
\(a,f'\left(x\right)=3x^2-6x\\ f'\left(x\right)\le0\Leftrightarrow3x^2-6x\le0\\ \Leftrightarrow3x\left(x-2\right)\le0\Leftrightarrow0\le x\le2\)
Lời giải:
a. $f'(x)\leq 0$
$\Leftrightarrow 3x^2-6x\leq 0$
$\Leftrightarrow x(x-2)\leq 0$
$\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2$
b.
$f'(x)=x^2-3x+2=0$
$\Leftrightarrow 3x^2-6x=x^2-3x+2=0$
$\Leftrightarrow 3x(x-2)=(x-1)(x-2)=0$
$\Leftrightarrow x-2=0$
$\Leftrightarrow x=2$
c.
$g(x)=f(1-2x)+x^2-x+2022$
$g'(x)=(1-2x)'f(1-2x)'_{1-2x}+2x-1$
$=-2[3(1-2x)^2-6(1-2x)]+2x-1$
$=-24x^2+2x+5$
$g'(x)\geq 0$
$\Leftrightarrow -24x^2+2x+5\geq 0$
$\Leftrightarrow (5-12x)(2x-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{-5}{12}\leq x\leq \frac{1}{2}$
giải pt sau bằng các định lý : \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\Leftrightarrow\left[f\left(x\right)\right]^{2k+1}=\left[g\left(x\right)\right]^{2k+1}\)
\(\sqrt[2k+1]{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left[g\left(x\right)\right]^{2k+1}\)
\(\sqrt[2k+1]{f\left(x\right)}=\sqrt[2k+1]{g\left(x\right)}\Leftrightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)\)
\(\sqrt[2k]{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}g\left(x\right)>0\\f\left(x\right)=\left[g\left(x\right)\right]^{2k}\end{cases}}\)
\(\sqrt[2k]{f\left(x\right)}=\sqrt[2k]{g\left(x\right)}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}f\left(x\right)\ge0\\g\left(x\right)\ge0\\f\left(x\right)=g\left(x\right)\end{cases}}\)hoặc
a) \(\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+13}=\sqrt{3x+12}\)
b)\(\left(x+3\right)\cdot\sqrt{10-x^2}=x^2-x-12\)
c) \(\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2x}\)
bổ xung định lý thứ 5
f(x)>=0 hoặc g(x)>=0 và f(x)=g(x)
1. Cho f(x) và g(x) có đạo hàm trên R. Tính đạo hàm của
a, y=f(x3)-g(x2)
b, y=\(\sqrt{f^3\left(x\right)+g^3\left(x\right)}\)
2. Cho f(x)=\(\dfrac{m-1}{4}\)x4 + \(\dfrac{m-2}{3}\)x3-mx2+3x-1. Giải và biện luận pt: f'(x)=0
1a.
\(y'=3x^2.f'\left(x^3\right)-2x.g'\left(x^2\right)\)
b.
\(y'=\dfrac{3f^2\left(x\right).f'\left(x\right)+3g^2\left(x\right).g'\left(x\right)}{2\sqrt{f^3\left(x\right)+g^3\left(x\right)}}\)
2.
\(f'\left(x\right)=\left(m-1\right)x^3+\left(m-2\right)x^2-2mx+3=0\)
Để ý rằng tổng hệ số của vế trái bằng 1 nên pt luôn có nghiệm \(x=1\), sử dụng lược đồ Hooc-ne ta phân tích được:
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(m-1\right)x^2+\left(2m-3\right)x-3\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\left(m-1\right)x^2+\left(2m-3\right)x-3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1), với \(m=1\Rightarrow x=-3\)
- Với \(m\ne1\Rightarrow\Delta=\left(2m-3\right)^2+12\left(m-1\right)=4m^2-3\)
Nếu \(\left|m\right|< \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\) (1) vô nghiệm \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm
Nếu \(\left|m\right|>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm
f(x) = \(\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}\) giải pt f(x)+f'(x)-\(\sqrt{1-x^2}\)=0
\(f'\left(x\right)=\dfrac{3}{2}\left(1-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}\left(1-x^2\right)'=-2x.\dfrac{3}{2}\sqrt{1-x^2}=-3x\sqrt{1-x^2}\)
\(pt\Leftrightarrow\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}-3x\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x^2}=0\)
\(DKXD:x^2\le1\Leftrightarrow-1\le x\le1\)
\(\sqrt{1-x^2}=t\Rightarrow pt\Leftrightarrow t^3-3xt-t=0\)
\(t=0\) la nghiem cua pt \(\Rightarrow x=\pm1\)
\(t\ne0\Rightarrow pt\Leftrightarrow t^2-3x-1=0\)
\(\Leftrightarrow1-x^2-3x-1=0\Leftrightarrow x\left(x+3\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-3\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\pm1\end{matrix}\right.\)
Cho các hàm số \(f\left(x\right)=x^2+2+\sqrt{2-x};g\left(x\right)=-2x^3-3x+5\)
\(u\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3-x};\left(x< 2\right)\\\sqrt{x^2-4};\left(x\ge2\right)\end{matrix}\right.\)
\(v\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{6-x};\left(x\le0\right)\\x^2+1;\left(x>0\right)\end{matrix}\right.\)
Tính các giá trị \(f\left(-2\right)-f\left(1\right);f\left(-7\right)-g\left(-7\right);f\left(-1\right)-u\left(-1\right);u\left(3\right)-v\left(3;\right)v\left(0\right)-g\left(0\right);\dfrac{f\left(2\right)-f\left(-2\right)}{v\left(2\right)-v\left(-3\right)}\) ?
\(f\left(-2\right)-f\left(1\right)=\left(-2\right)^2+2+\sqrt{2-\left(-2\right)}-\left(1^2+2+\sqrt{2-1}\right)\) \(=8-4=4\).
\(f\left(-7\right)-g\left(-7\right)=\left(-7\right)^2+2+\sqrt{2-\left(-7\right)}-\left(-2.\left(-7\right)^3-3.\left(-7\right)+5\right)=-658\)
Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các PT sau:
d) \(x\left(2x-7\right)-4x+14=0\)
e) \(\left(2x-5\right)^2-\left(x+2\right)^2=0\)
f) \(x^2-x-\left(3x-3\right)=0\)
d) \(PT\Leftrightarrow x\left(2x-7\right)-4\left(x-7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-7\right)\left(x-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-7=0\\x-4=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{7}{2}\\x=4\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(S=\left\{\dfrac{7}{2};4\right\}\)
e) \(PT\Leftrightarrow\left(2x-5-x-2\right)\left(2x-5+x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-7\right)\left(3x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-7=0\\3x-3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=7\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(S=\left\{7;1\right\}\)
f) \(PT\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(S=\left\{1;3\right\}\)
\(d,x\left(2x-7\right)-4x+14=0\)
\(x\left(2x-7\right)-2\left(2x-7\right)=0\)
\(\left(x-2\right)\left(2x-7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)
d: =>(2x-7)(x-2)=0
=>x=7/2 hoặc x=2
e: =>(2x-5-x-2)(2x-5+x+2)=0
=>(x-7)(3x-3)=0
=>x=7 hoặc x=1
f: =>x(x-1)-3(x-1)=0
=>(x-1)(x-3)=0
=>x=1 hoặc x=3
Cho hs
\(f\left(x\right)=-\dfrac{mx^3}{3}+3x^2-mx+1\)
tìm m để
a) \(f'\left(x\right)\le0,\forall x\in R\)
b) pt\(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm âm phân biệt
Giải các phương trình sau:
a \(x^2-11=0\)
b \(x^2-12x+52=0\)
c \(x^2-3x-28=0\)
d \(x^2-11x+38=0\)
e \(6x^2+71x+175=0\)
f \(x^2-\left(\sqrt{2}+\sqrt{8}\right)x+4=0\)
g\(\left(1+\sqrt{3}\right)x^2-\left(2\sqrt{3}+1\right)x+\sqrt{3}=0\)
a.
$x^2-11=0$
$\Leftrightarrow x^2=11$
$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{11}$
b. $x^2-12x+52=0$
$\Leftrightarrow (x^2-12x+36)+16=0$
$\Leftrightarrow (x-6)^2=-16< 0$ (vô lý)
Vậy pt vô nghiệm.
c.
$x^2-3x-28=0$
$\Leftrightarrow x^2+4x-7x-28=0$
$\Leftrightarrow x(x+4)-7(x+4)=0$
$\Leftrightarrow (x+4)(x-7)=0$
$\Leftrightarrow x+4=0$ hoặc $x-7=0$
$\Leftrightarrow x=-4$ hoặc $x=7$
d.
$x^2-11x+38=0$
$\Leftrightarrow (x^2-11x+5,5^2)+7,75=0$
$\Leftrightarrow (x-5,5)^2=-7,75< 0$ (vô lý)
Vậy pt vô nghiệm
e.
$6x^2+71x+175=0$
$\Leftrightarrow 6x^2+21x+50x+175=0$
$\Leftrightarrow 3x(2x+7)+25(2x+7)=0$
$\Leftrightarrow (3x+25)(2x+7)=0$
$\Leftrightarrow 3x+25=0$ hoặc $2x+7=0$
$\Leftrightarrow x=-\frac{25}{3}$ hoặc $x=-\frac{7}{2}$
f.
$x^2-(\sqrt{2}+\sqrt{8})x+4=0$
$\Leftrightarrow x^2-\sqrt{2}x-2\sqrt{2}x+4=0$
$\Leftrightarrow x(x-\sqrt{2})-2\sqrt{2}(x-\sqrt{2})=0$
$\Leftrightarrow (x-\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})=0$
$\Leftrightarrow x-\sqrt{2}=0$ hoặc $x-2\sqrt{2}=0$
$\Leftrightarrow x=\sqrt{2}$ hoặc $x=2\sqrt{2}$
g.
$(1+\sqrt{3})x^2-(2\sqrt{3}+1)x+\sqrt{3}=0$
$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})x^2-(1+\sqrt{3})x-(\sqrt{3}x-\sqrt{3})=0$
$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})x(x-1)-\sqrt{3}(x-1)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)[(1+\sqrt{3})x-\sqrt{3}]=0$
$\Leftrightarrow x-1=0$ hoặc $(1+\sqrt{3})x-\sqrt{3}=0$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
Cho h/s f(x) liên tục và x/đ trên [-1 ; \(+\infty\)] và t/m : \(f\left(x+1\right)+3f\left(3x+2\right)-4f\left(4x+1\right)-f\left(2^x\right)=\dfrac{3}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}\forall x\in\left[-1;+\infty\right]\)
Tính \(\int\limits^2_1\dfrac{f\left(x\right)}{x}dx\) = ?
Từ GT ta lấy tích phân 2 vế cận từ 0 đến 1 ; sẽ được :
\(\int\limits^1_0f\left(x+1\right)dx+\int\limits^1_03f\left(3x+2\right)dx-\int\limits^1_04f\left(4x+1\right)dx-\int\limits^1_0f\left(2^x\right)dx=\int\limits^1_0\dfrac{3dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}\left(1\right)\)
\(\int\limits^1_0\dfrac{3dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}=\int\limits^1_03\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\right)dx\) =
\(2\left[\left(x+2\right)\sqrt{x+2}-\left(x+1\right)\sqrt{x+1}\right]\dfrac{1}{0}\) = \(2+6\sqrt{3}-8\sqrt{2}\left(2\right)\)
Dễ thấy : \(\int\limits^1_0f\left(x+1\right)dx=\int\limits^2_1f\left(t\right)dt=\int\limits^2_1f\left(x\right)dx\)
\(\int\limits^1_03f\left(3x+2\right)dx=\int\limits^5_2f\left(t\right)dt=\int\limits^5_2f\left(x\right)dx\) (3)
\(\int\limits^1_04f\left(4x+1\right)=\int\limits^5_1f\left(t\right)dt=\int\limits^5_1f\left(x\right)dx\left(4\right)\)
\(\int\limits^1_0f\left(2^x\right)dx=\int\limits^2_1\dfrac{f\left(t\right)dt}{tln2}=\dfrac{1}{ln2}.\int\limits^2_1\dfrac{f\left(t\right)dt}{t}=\dfrac{1}{ln2}.\int\limits^2_1\dfrac{f\left(x\right)dx}{x}\) (5)
Thay (2) ; (3) ; (4) ; (5) vào (1) ta được :
\(\int\limits^2_1f\left(x\right)dx+\int\limits^5_2f\left(x\right)dx-\int\limits^5_1f\left(x\right)dx-\dfrac{1}{ln2}.\int\limits^2_1\dfrac{f\left(x\right)dx}{x}=2+6\sqrt{3}-8\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\int\limits^2_1\dfrac{f\left(x\right)dx}{x}=\left(2+6\sqrt{3}-8\sqrt{2}\right)ln2\)